Tugas Rizki ade yulinda bab 5 Momen, Kemiringan , dan Kurtosis

MOMEN, KEMIRINGAN, DAN KURTOSIS

TUGAS KULIAH BAB 5

MOMEN KEMIRINGAN DAN KURTOSIS

A.          Momen

             Misal diketahui variabel  X dengan harga X1, X2, X3 . . . .   Xn. Jika A sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3,      maka momen di sekitar A disingkat m’rdidefinisikan oleh

Dengan

  n = , Xitanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan Xi.

Dengan menggunakan cara coding, rumusnya:

m’_r = , P = Panjang kelas, C = Variabel koding.

Dari m’_r harga-harga m_r dapat ditentukan berdasarkan hubungan:

m₂ = m₂’ – (m₁’)²

m₃ = m₃’ – 3m₁’ + m₂ + 2(m₁’)³

m₄ = m₄’ – 4m₁’ + 6 (m₁’) m₂ – 3 (m₁’)

Untuk menghitung momen disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut:

TABLE  5.1: Table pembantu untuk mencari m

Data	f1	Ci	f1Ci	f1C12	f1C13	f1C14
60 – 63 64 – 67 68 – 71 72 – 75 76 – 70	5 18 42 27 8	-2 -1 0 1 2	-10 -18 0 27 16	20 18 0 37 42	-40 -18 0 27 64	80 18 0 27 128
Jumlah	100		15	97	35	253

Dapat dihitung:

m₁ = 

m₂ = 

m₃ = 

m₄ = 

Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas:

m₂ = m₂’ – (m₁’)² = 15,52 – 0,36 = 15,16

m₃ = m₃’ – 3m₁’ m₂’ + 2(m₁’)³ = 5,28 – 3x0,6x15,52 +2x (0,6) = 21,456

m₄ = m₄’ – 4m₁’ m₃’ + 6 (m₁’)² (m₂’)...........

=  40,48 – 4x0,6 x 5,28 + 6 x 0,6        ²x15,52 – 3x0,4²

= 60,9424

Jadi Varian S² = m₂ = 15,16

B. KEMIRINGAN

Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu rucing atau tidak terlalu datar. Dinamakanmesokurtik,

kurva yang runcing dinamakan leptokurtik sedangkan yang datar disebut platikurtik.

Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi simbol a₄, ditentukan dengan rumus a₄ = (m₄/m)

Kriteria yang didapat dari rumus ini ialah:

a) a₄ = 3    à        Distribusi normal

b) a₄ > 3    à        Distribusi yagn leptokurtik

c) a₄ < 3     à        Distribusi yang platikurtik

Untuk mengetahui apakah distribusi normal atau tidak sering pula dipakai koefisien kurtosis persentil, diberi simbul:

κ = 

SK = rentang semi antar kuartil

K3 = kuartik ketiga

K1 = kuartil kedua

P10 = persentil kesepuluh

P90 = persentil ke 90

Untuk distribusi normal, harga κ  = 0,263

Untuk contoh di atas telah di dapat m₄ = 60,9424, sedangkan m = 15,17 sehingga besarnya koefisien kurtosis a₄ = (m₄/m) = 60,9424/229,8256 = 0,265, ini kurang dari 3, jadi kurvanya cenderung aman platikurtik.

Contoh: data nilai ujian Fisika dasar dari 80 mahasiswa, akan kita cari koefisien kurtosis persentil besarnya:

Dimana K1 dan K3 telah kita hitung; K1 = 81,676 dan K3 = 61,75, adapun datanya telah disusun dalam daftar sebagai berikut:

No	Nilai Ujian	Fi
1 2 3 4 5 6 7	31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	3 5 10 16 24 17 5
	Jumlah	80

Dengan menggunakan rumus Pi = b + P dimana P = panjang kelas dapat dihitung P10 dan P90.

P10 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval ke 2 sehingga b = 40,5, P = 10; F = 3 f = 5

P10 = 40,5 + 10 = 50,5

P90 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval keenam, sehingga b = 80,5, P = 10, F = 8, f = 17

P90 = 80,5 + 10 = 81,32